Уравнение касательной к графику функции

Уравнениями касательной графику функции занимаются в 10 классе общеобразовательной школы. Уравнение касательной позволяет определить точное положение касательной линии в заданной точке графика функции.

Мы расскажем, как составить уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной, приведем задачи с решениями.

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной заключается в определении скорости изменения функции в каждой точке графика. Если производная положительна, то функция возрастает в данной точке, а если производная отрицательна, то функция убывает. Также нулевое значение производной указывает на точку экстремума функции - либо максимум, либо минимум.

Определение геометрического смысла производной:

• Возьмем произвольную функцию y = f(x) и обозначим на ней точку А с координатами (x₀;f(x₀)) и точку В с координатами (x₀+Δx;f(x₀+Δx)
  
  
• Через точки А и В проведем прямую.
  
  
• Угол α будет наклона прямой к оси абсцисс.
• Через точку А проводим прямую, параллельно оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельно оси ординат (прямые y и х). Точку пересечения прямых обозначим как С.
• Получаем прямоугольный треугольник АВС, в котором катет AC = Δ x, катет BC=Δf.
• Возьмем отношения этих значений Δf/Δx и получим отношение противолежащего катета к прилежащему катету, что равно tgα.
• При уменьшении расстояния между точками A и B, как следствие будут уменьшаться длины отрезков Δx и Δf и в какой-то момент точка В совпадет с точкой A, а отношение Δ/fΔx станет равно производной функции y = f(x) в точке x
• Касательная — это прямая с уравнением y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, который равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс.
• Отсюда k = tgα=f′(x₀).

Разберем примеры – задачи и решение

Разберем несколько задач.

Задача №1

Дан график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  Найдите значение производной функции  в точке

Решение:

Геометрический смысл производной:

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

В точке  функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол  с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла  смежного с углом

Ответ: -0,5.

Задача №2

К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой x_0. Требуется найти угловой коэффициент касательной к графику функции.

Найдем угловой коэффициент касательной, который равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. На прямой построим прямоугольный треугольник и найдем отношение противолежащего катета к прилежащему:10/3»3

Ответ: 3

Как составить уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x_0:

y = f′(x₀)(x−x₀) + f(x₀)

Алгоритм составления уравнения

Дано: уравнение кривой y=f(x), абсцисса точки касания x₀.

Порядок выведения уравнения касательной:

• Найдем значение функции в точке касания f(x₀).
• Найдем общее уравнение производной f'(x).
• Найдем значение производной в точке касания f'(x0).
• Запишем уравнение касательной y = f'(x0)(x - x0) + f(x0).
• Приведем уравнение к виду y = kx + b.

Пример:

Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Порядок нахождения уравнения:

Для решения задачи поставим точку . Значение функции в этой точке равно 1.

Составим уравнение касательной к графику функции:

• Находим  и точку касания.

   - дано, точка касания: (;.

• Находим производную в любой точке .

  .

• Находим значение производной в точке с абсциссой .

  .

• Уравнение касательной.

  .

Упрощаем и получаем: .

Ответ: уравнение касательной к графику функции в точке .

FAQ

Определение геометрического смысла производной?

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Можно ли составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке онлайн?

Да, есть специальные онлайн-калькуляторы, помогающие составлять уравнения, например, symbolab.com, mathforyou.net, math.semestr.ru

Вывод

• Касательная — это прямая с уравнением y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, который равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс, k = tgα=f′(x₀).
• Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ формула:

  y = f′(x₀)(x−x₀) + f(x₀).

• Знание математической теории и опыт в составлении уравнений касательных, понимание геометрического смысла производной и умение решать задачи с помощью производных помогут создавать точные математические модели, описывающие изменения в различных ситуациях и анализировать их геометрическое значение.