Длина вектора

Понятие вектор встречается в физике, алгебре и геометрии. Он помогает решать задачи различной сложности и тематики.

В этой статье мы расскажем, что такое вектор, как найти его длину, разберем несколько примеров и посмотрим обзор на онлайн-калькуляторы.

Векторы – что такое

Вектор – это математический объект, который характеризуется не только величиной, но и направлением. Он определяется как совокупность чисел, обычно представленных в виде упорядоченной последовательности или столбца. Каждое из этих чисел представляет собой компоненту вектора в определенном направлении.

Обозначение направленного отрезка – , например  и т.д. Это означает, что вектор можно назвать как одной буквой, так и двумя точками, которые будут являться началом и концом:

Какими бывают

Вектора бывают следующих видов:

• Нулевой вектор – это вектор, который не имеет определенного направления и не может быть коллинеарным или неколлинеарным ни с каким другим вектором. Символом нулевых вектора является .
• Коллинеарные векторы – это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Они имеют одно и то же направление или противоположное направление, но различаются по своей длине.
• Неколлинеарные векторы – это векторы, которые не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Они могут иметь различные направления и различные длины.
• Сонаправленные векторы – это векторы, которые могут быть коллинеарными или неколлинеарными, но имеют общее направление.
• Противоположно направленные векторы – это векторы, которые имеют противоположное направление друг от друга. Они всегда коллинеарны и могут быть выражены как масштабирование друг друга с отрицательным масштабным множителем.

Все эти понятия объединяет то, что у каждого вектора есть длина. Разберемся, что это подробнее.

Длина вектора

Длина вектора представляет собой меру величины и направления вектора, и позволяет нам определить его абсолютное значение. Иногда длину вектора называют модулем и выглядит это так  и т.д. Исходя из того, что длину вектора называют модулем, можно понять – длина всегда будет положительной, не важно в какую сторону направлен вектор.

Длина нулевого вектора всегда будет равна 0.

Понятие длины вектора имеет множество практических применений:

• Оно позволяет нам измерить физическую величину, такую как скорость, силу или напряжение. Например, мы можем определить, насколько быстро движется объект в определенном направлении.
• В геометрии используя длины векторов можно определить угол между ними и их скалярное произведение.
• Длина вектора играет важную роль в определении различных метрик и коэффициентов, используемых в математическом анализе и статистике. Так, длина вектора может быть использована для измерения сходства или различия между двумя наборами данных.
• Также она позволяет определить единичный вектор, то есть вектор с длиной равной единице. Единичные векторы широко применяются в различных областях, таких как компьютерная графика, робототехника и криптография.

Как найти длину вектора по координатам

Чтобы найти длину вектора по координатам необходимо воспользоваться прямоугольной системой координат. Разберем решение подробнее на примере.

Допустим, у нас есть вектор  (х;у), который выходит из точки А с координатами (0;0).

Такой вектор можно считать радиус-вектором для двух других векторов (АВ₁ И АА₁).

Примем обозначения для длин векторов: |АВ₁| = у, |АА₁| = х.

Получаем два прямоугольных треугольника АА₁В и АВВ₁ с общей гипотенузой АВ. Длину гипотенузы можно найти по теореме Пифагора:

АВ² = АА₁² + АВ² = х² + у²

Из данной формулы получаем, что:

Если объяснять словами, то для того, чтобы найти длину вектора  необходимо сложить сумму квадратов его координат и взять их в квадратный корень.

Итоговая формула вычисления длины вектора по координатам будет выглядеть так:

Для трехмерного пространства формула поиска длины вектора  = (а_х, а_у, а_z) будет выглядеть так:

Рассмотрим, как работают эти формулы на примерах.

Пример 1

Необходимо найти модуль вектора  = (-5; 8).

Решение:

Подставим данные в формулу вычисления длины вектора:

Ответ: длина вектора равна

Пример 2

На каком расстоянии от начала координат находится точка А (4; 1)?

Решение:

Вектор  является радиус-вектором, следовательно его координаты совпадают с координатами точки А, что означает  (4;1). Подставим эти данные в формулу, чтобы вычислить длину:

Ответ: точка А находится на расстоянии в .

Как найти длину вектора по двум точкам

Бывают случаи, когда в задаче нам не дают координаты вектора. В таких случаях, длину вектора можно найти по координатам двух точек – начала и конца.

Координаты вектора  в точке А (х_а; у_а), в точке В (х_в; у_в), следовательно вектор  имеет координаты (х_в – х_а; у_в – у_а). Таким образом, формулы нахождения длины вектора по двум точкам будет выглядеть так:

Разберем данную формулу на примере:

Необходимо найти длину вектор , точки имеют координаты С (4;6), D (-2; 0).

Решение:

Подставим данные в формулу:

Ответ: длина вектора  равна .

Как найти длину вектора при помощи теоремы косинусов

Некоторые задачи по поиску длины вектора можно решить с помощью теоремы косинусов. Звучит она так:

• Квадрат стороны треугольника состоит из равного сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формулы в этом случае, будут выглядеть так:

Решим пример, чтобы точнее понять, как определять длину вектора через теорему косинусов.

Пример:

Дано три вектора: , угол между ними равен π/3.

Необходимо найти длину вектора .

Решение:

Отразим данные, которые нам даны на рисунке, для наглядного понимания:

Для начала найдите квадрат длины вектора. Чтобы это сделать, подставим известные нам данные в теорему косинусов:

Ответ: длина вектора

Онлайн-калькуляторы – обзор

Для тех, кто хочет быстрее и проще вычислять длину вектора, мы подобрали Топ-3 онлайн-калькулятора, которые бесплатно помогут выполнить задачу:

• OnlineMSchool – онлайн калькулятор позволит очень просто найти длину вектора для плоских и пространственных задач. Воспользовавшись им, вы получите детальное решение задачи, которое позволит понять алгоритм решения на вычисление модуля вектора и закрепить пройденный материал.
• Калькулятор – сервис поможет найти длину (модуль) двумерного или трехмерного вектора, заданного в виде координат либо точек или используя две стороны прямоугольника.
• AllCalc – при помощи калькулятора можно упростить процесс расчетов. Для этого потребуется выбрать тип пространства и ввести в соответствующие поля значения X и Y (Z – в трехмерной системе).

FAQ

Чему равна длина единичного вектора?

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Для нахождения длины единичного вектора необходимо применить формулу вычисления нормы вектора. Например, в трехмерном пространстве длина единичных векторов, заданных координатами (x, y, z), вычисляется следующим образом:

(x² + y² + z²) * (1/2) = 1.

Можно ли освоить данную тему без учителя?

Да, вы можете самостоятельно научиться вычислять длину вектора. В нашей статье есть все необходимые формулы и пояснения, которые помогут вам в этом вопросе.

Вывод

• Вектор указывает на конкретное направление в пространстве.
• Векторы могут быть представлены в различных формах, включая координатную, геометрическую и алгебраическую формы.
• Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат.
• В нашей статье представлены все формулы для вычисления длины вектора с примерными задачами.
• Упростить процесс вычисления можно, воспользовавшись специальными онлайн-калькуляторами, которые мы подобрали для вас.