Основные понятия геометрии, 9 класс

Основные понятия геометрии за 9 класс являются фундаментальными при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Рассказали основные темы с примерами, чтобы помочь разобраться в трудных и важных вопросах: как найти радиус окружности, определить уравнение окружности и прямой, длина окружности и площадь круга и др.

Уравнение окружности

Все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии от центра окружности. Такое расстояние равно радиусу круга. Разберем, как найти r и расстояние между двумя точками.

Рассчитать расстояние между двумя точками допустимо, если установлены координаты точек:

, тогда квадрат расстояния 

Представим, что центр окружности расположен в точке с координатами , а радиус равен R. Любая точка P(x;y) на окружности от центра C находится на расстоянии, равном радиусу (R). Таким образом, справедливо равенство, которое одновременно является уравнением окружности:

Координаты всех точек на окружности всегда удовлетворяют уравнению.

Если центр окружности будет расположен в начале координат (0;0), то уравнение окружности будет иметь вид:

Уравнение прямой

Для составления уравнения прямой изобразим такую прямую, как перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка. Все точки перпендикуляра находятся на одинаковом расстоянии от концов отрезка.

Концы отрезка имеют координаты  и . Любая точка P(x;y) находится на одинаковом расстоянии от конечных точек PA = PB. Таким образом, если расстояния одинаковые, то и квадраты таких расстояний равны .

Справедливым будет равенство, которое будет являться уравнение прямой:

Решим составленное уравнение:

Уравнение будет в таком виде:

Представим, что прямая проходит через случайную точку  с координатами . Для любой точки на прямой , что и будет являться уравнением прямой.

Так как ось  пересекает начало координат, то уравнение оси x = 0.

Если прямая проходит через точку на оси  с координатами . Для любой точки на прямой уравнение будет . Так как ось  пересекает начало координат, то уравнение оси  есть y = 0.

Координаты середины отрезка

Если есть координаты конечных точек отрезка, то знания о действиях с векторами и их координатами помогут определить координаты точки отрезка, расположенной посередине.

Изобразим отрезок AB на системе координат.

Конечные точки отрезка  – конечные точки отрезка с данными координатами, а серединная точка имеет координаты C(x;y).

Если векторы , начинаются в начале координат, то их координаты совпадут с координатами конечных точек.

Если сосчитать векторы , по закону параллелограмма .

На оси координат координаты суммы определяют как сумму координат слагаемых векторов, а при умножении с числом координаты находим умножением координат.

Следовательно, , а значит, искомые значения x и y:

Длина окружности и площадь круга

Для всех окружностей действует правило, что отношение длины окружности и диаметру одно и то же число, которое обозначают  = 3,141592…

Длина окружности C, диаметр и радиус D = 2R. Таким образом, 

Следовательно, длина всей окружности 

Если градусная сера дуги, образованной отрезками равна α, то длина дуги , где 

Площадь круга рассчитывается по формуле .

Площадь сектора, мера дуги которого , равна , если мера дуги равна α площадь сектора рассчитывается по площади .

Правильные многоугольники

Многоугольники, у которых все стороны и углы равны называются правильными.

На рисунке изображены примеры правильных многоугольников.

В правильных многоугольниках можно провести диагонали, которые образуют вогнутые многоугольники. Диагонали пятиугольника образуют пентаграмму, а шестиугольника – гексаграмма, семиугольника – две гептаграммы.

Если отобразить диагонали из одной вершины, любой  – угольник поделить на  треугольника, получается сумма всех внутренних углов определяется по формуле .

Все углы правильного -угольника одинаковые, а величина внутреннего угла равна .

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, при этом центры окружностей совпадают и такую точку называют центром многоугольника.

Вписанная окружность будет касаться всех сторон многоугольника и проходить через все вершины.

Обозначим AH = a.

В треугольнике  связаны стороны AK (50% от AH), радиус описанной окружности  и радиус вписанной окружности .

 – угольник состоит из  треугольников, равных , а значит верна формула:

FAQ

Какие задания могут встретиться на ЕГЭ по геометрии?

Список заданий за предыдущие годы с ответами и описанием ошибок, которые допустили ученики, представлен на сайте ФИПИ. Нельзя с уверенностью сказать, что при сдаче придется определять радиус окружности или площадь правильного многоугольника, однако данные знания являются базовыми при изучении геометрии за 9 класс. Их глубокое понимание позволит применить формулы для получения промежуточного результата в тесте или сориентироваться в решении задач по другим темам.

Для чего нужно знать уравнение окружности?

Уравнение окружности необходимо чтобы найти ее центр и радиус.

Рассмотрим на примере: из двух уравнение нужно определить какое из них является уравнением окружности

Уравнением окружности является . Значит центр окружности — точка с координатами Q (1; -2), а r окружности .

Второе уравнение тоже можно преобразовать в уравнение окружности:

Так как в каждой скобке есть квадрат одного выражения и произведение с множителем на 2, нужно определить квадрат второго выражения, затем найти его сумму и разность:

В школьную программу включают много геометрического материала не только при изучении профильного предмета, но и в начальный курс по математике. Такие изменения были необходимы, чтобы учитель мог познакомить учеников с геометрическими фигурами. их свойствами и особенностями им нужна соответствующая математическая подготовка. В дальнейшем любые вопросы могут быть задачами на экзамене. И если сейчас решить задачи на рассмотренные темы можно на онлайн-тренажерах или специальных калькуляторах, то использование «помощников» при сдаче ОГЭ или ЕГЭ запрещены. В качестве тренажера или для проверки решения использовать онлайн-ресурсы можно, поэтому добивайтесь понимания тем при их изучении в школе, чтобы в будущем не тратить много времени и сил на подготовку.